La prova diagonale di Cantor
L’argomento che dimostra che l’insieme dei numeri razionali ha la potenza del numerabile
Nel 1873, ricorrendo a una brillante intuizione matematica, Cantor riuscì a dimostrare che la cardinalità dell’insieme dei numeri razionali è
così come quella dell’insieme dei numeri naturali. È possibile infatti creare una corrispondenza uno a uno tra i numeri razionali e i naturali.
Cantor cominciò la sua prova scrivendo le frazioni in ordine tabulare. Come si vede dalla tabella riportata di seguito, i numeratori aumentano di una unità procedendo da sinistra verso destra; similmente, i denominatori aumentano di una unità, ma procedendo dall’alto verso il basso.
Se questa tabella si estendesse all’infinito verso destra e verso il basso, conterrebbe tutti i numeri razionali possibili. Vi sarebbero ovviamente infinite ripetizioni (tutte le frazioni equivalenti del tipo 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5 ecc.), ma sarebbe un problema gestibile. La questione è: è possibile creare una corrispondenza uno a uno tra ciascun distinto numero razionale in tabella e l’insieme dei numeri naturali?
Si potrebbe per esempio adoperare la strategia mostrata nell’immagine seguente, in cui ciascuna frazione della seconda riga della tabella viene associata a un distinto numero naturale.
Tuttavia questo metodo non funziona, perché le frazioni con denominatore 2 (così come quelle con qualsiasi altro denominatore) sono infinite, per cui non sarebbe mai possibile estendere la corrispondenza uno a uno con i numeri naturali alle righe successive della tabella e quindi agli altri denominatori. Ma Cantor ebbe un’idea geniale: creare la suddetta corrispondenza attraverso uno spostamento a serpentina attraverso la tabella, come mostrato nell’immagine seguente.
Le celle con sfondo grigio contengono frazioni da non considerare, perché equivalenti ad altre già messe in corrispondenza biunivoca con un un numero naturale: per esempio, 2/2 è equivalente a 1/1 associato a 0, 2/4 è equivalente a 1/2 associato a 2, 4/2 è equivalente a 2/1 associato a 1.
La strategia adoperata da Cantor funziona alla perfezione, consentendo di associare a ciascuna distinta frazione un numero naturale. Si dimostra in tal modo che la cardinalità dei numeri razionali è ℵ₀.
